Про атом можно только анекдот про электричество вспомнить.
Можно заявить с химической точки зрения - что это неделимый (ну, кроме электронов) и неизменный элемент всех реакций и взаимодействий. Можно модель Бора-Резерфорда нарисовать. Можно рисовать красивые орбитали и облака, поминая функцию Шредингера. Можно вспомнить, что протон и нейтрон, вообще говоря, это uud и udd в кварковой модели. А еще глюоны и прочие артефакты стандартной модели.
На самом деле - фиг знает. По большому счету атом - это удобный в приложениях концепт, у которого есть много моделей, обладающих достаточной точностью для использования в соответствующих приложениях.

А вот с континуумом интереснее. Если смотреть с него с теоретико-множественной точки зрения, то натуральные числа из него никак не выделить. А вот если мы говорим за множество вещественных чисел, то тут еще появляются алгебраические и аналитические структуры. И вот из них как раз натуральные числа определяются легко.
По сути, берем бесконечную циклическую группу, порожденную одним элементом - с точностью до изоморфизма это множество целых чисел. На котором мы естественным образом определяем упорядочение (это уже аналитическая структура). Далее, если мы определяем умножение естественным образом, то тогда порождающий элемент становится единицей кольца. Требование обратного элемента (строго аналогично переходу от полугруппы натуральных к группе целых чисел) дает нам поле рациональных чисел. Дальше алгебра нам поможет, максимум, в переходе к алгебраическим числам (к которым пи не относится), но за счет упорядочения мы можем с помощью сечений Дедекинда или аналогичного им конструкта взять замыкание, которое уже дает нам вещественные числа.

Так что с математикой все сложно, потому что сначала надо договориться о наборе точек зрения. С атомом, кстати, примерно то же самое.